Una paziente ha un nodulo al seno che, vista l’anamnesi e l’esame obiettivo, con buona probabilità è benigno. Si può stimare del 99% la probabilità che sia benigno. Si richiede una mammografia, che dà esito positivo, indica cioè che è maligno.

La mammografia è un esame abbastanza accurato. La sensibilità della mammografia è alta: di 100 tumori ce ne fa vedere 80 e ne fa sfuggire 20 (80% di veri positivi e 20% di falsi negativi). È alta anche la specificità, la capacità di riconoscere correttamente le persone sane: il risultato negativo risponde al vero nel 90% dei casi e quello positivo ci inganna solo nel 10% dei casi (90% di veri negativi e 10% di falsi positivi).

Qual è la probabilità che la paziente abbia un cancro al seno?

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Di solito pensiamo a una probabilità più alta. Anche i medici tendono a cadere in questo errore. Per capire come mai, leggi sopra il testo tratto dal libro Errori di ragionamento in medicina.

da ERRORI DI RAGIONAMENTO IN MEDICINA

l'errore del taxi blu nel nodulo al seno

Titolo: Errori di ragionamento in medicina

          Sapere dove la nostra mente sbaglia per gestirla

Autori: Adele Bianchi, Parisio Di Giovanni

 

Copertina: Adele Bianchi

 

© 2016 Parisio Di Giovanni

tutti i diritti riservati

ISBN-13: 978-1533457165

ISBN-10: 1533457166

Deviazioni dal teorema di Bayes

L’incertezza si controlla per gradi, raccogliendo informazioni nuove e rivedendo via via alla luce di queste le stime di probabilità iniziali. Immaginiamo di ­tornare a casa e di vedere dell’acqua sul pavimento. Pensiamo a una perdita nell’impianto idraulico. Prima di vedere l’acqua ­giudicavamo molto bassa la probabilità di una perdita idraulica a casa nostra, mentre ora è per noi molto alta. Dando un’occhiata in giro non vediamo segni di perdite. Scopriamo invece di aver lasciato aperta una finestra che dà sul giardino. Ci ricordiamo ­allora che in passato ragazzi che giocavano nella piazza antistante sono penetrati in giardino per raccogliere il pallone. Ecco che ­diviene molto più probabile l’ipotesi che la casa sia stata allagata da loro attraverso la finestra, magari per gioco. Tutte le indagini, da quelle comuni della vita quotidiana a quelle raffinate di certe attività professionali, tra cui la medicina, sono iter di progressivo aggiornamento delle stime di probabilità in ragione delle informazioni nuove.

Rivedere le probabilità alla luce delle informazioni nuove è un compito impegnativo. Dobbiamo combinare in qualche modo le probabilità degli eventi antecedenti all’emergere delle informazioni nuove con le probabilità successive. La procedura razionale ideale è prescritta dal teorema di Bayes, matematico inglese del  Settecento. La formula di Bayes (1) consente di calcolare la probabilità a posteriori a partire dalla probabilità a priori o di base e dalla probabilità condizionata. La probabilità a posteriori è quella di cui alla fine tener conto (quanto sono probabili le varie ipotesi sui motivi dell’allagamento?); la probabilità a priori è quella iniziale (quanto è probabile che una casa come la mia si allaghi?); la probabilità condizionata è la probabilità che un evento osservato (l’acqua per terra o la finestra aperta) si verifichi nel caso in cui l’ipotesi (la perdita o l’allagamento intenzionale) sia vera.

In ogni caso, anche se non facciamo calcoli con la formula di Bayes, dovremmo tener conto sia delle probabilità a priori, sia delle condizionate, cioè pesare vuoi la tendenza generale dell’evento a verificarsi, vuoi la sua tendenza a verificarsi nel caso specifico che le informazioni raccolte configurano. Invece spesso ci fissiamo su uno solo dei due elementi.

In alcuni casi le persone mostrano una tendenza conservatrice: restano ancorate alle probabilità iniziali e sottostimano le informazioni nuove. Edwards (1968) presentava ai soggetti due buste, una con 70 gettoni rossi e 30 blu e una con 70 blu e 30 rossi. Ne sceglieva una a caso, faceva pescare un gettone dopo l’altro e chiedeva ogni volta qual era la probabilità che si trattasse della busta a prevalenza rossa o blu. Calcolata secondo il teorema di Bayes, dopo l’estrazione del primo gettone la probabilità che si tratti di una busta o dell’altra si allontana da quella di base (50%) del 20% (70% o 30%), ma i soggetti la correggevano all’incirca del 10% (60% o 40%). Quando le probabilità calcolate erano vicine al 100% e allo 0% i soggetti erano ancora fermi al 75% e al 25%.

In altri casi accade il contrario: l’informazione nuova viene sovrastimata e si manifesta una tendenza a ignorare la probabilità a priori. Cimentiamoci con il problema del taxi blu di Tversky e Kahneman (1980).

Si è verificato un incidente notturno con omesso soccorso in cui è stato coinvolto un taxi. In città ci sono due compagnie di taxi: una di taxi verdi, una di blu.

L’85% dei taxi sono verdi e il 15% blu. Un testimone ha dichiarato che il taxi coinvolto era blu. Il tribunale ha controllato l’attendibiltà del testimone in situazioni simili a quelle dell’incidente ­verificando che questi è accurato nell’80% dei casi e sbaglia nel ­restante 20%.

Qual è la probabilità che il taxi coinvolto nell’incidente fosse davvero blu?

Solitamente le persone giudicano la probabilità che il taxi fosse blu superiore al 50%, mentre è decisamente inferiore. Proviamo a fare un semplice ragionamento. Prendiamo 100 taxi: 85 saranno verdi e 15 blu. Siccome la sua accuratezza è dell’80%, il testimone indicherà correttamente 12 taxi blu (l’80% di 15). Prenderà però erroneamente per blu ben 17 taxi verdi (il 20% di 85). Nel complesso il testimone vedrà 29 taxi blu, sbagliando nel 59% dei casi e indovinando nel 41%. Precisamente il 41% è la probabilità che il taxi dell’incidente sia blu. Il punto è che noi diamo troppo peso a quell’80% di accuratezza, senza tener conto che la probabilità di base la fa crollare, per il semplice fatto che ci sono molti più taxi verdi e che un 20% di taxi verdi  incide più dell’80% di taxi blu.

Sembra che ci lasciamo catturare dalle probabilità iniziali o dalle informazioni nuove a seconda della rilevanza che attribuiamo alle une o alle altre (Bar-Hillel, 1980, 1983). Negli esperimenti di Edwards per i soggetti è importante la probabilità di base, dato che hanno visto lo sperimentatore scegliere a caso tra le due buste. Nel problema del taxi blu balza invece in primo piano l’accuratezza del testimone nelle prove effettuate dal tribunale, mentre perde importanza il rapporto tra i due tipi di taxi.

Accade lo stesso nella pratica medica. Nel caso di malattie molto rare (ad esempio, una miastenia) o molto frequenti (un’influenza in corso di epidemia) tendiamo a farci guidare dalle probabilità di base. Quando invece ci affidiamo a un esame per la diagnosi, tendiamo a farci guidare da questo. Eddy (1982) ha ­sottoposto a 100 medici un quesito sulla probabilità di un cancro al seno.

Una paziente ha un nodulo al seno che, vista l’anamnesi e l’esame obiettivo, con buona probabilità è benigno. Si può stimare del 99% la probabilità che sia benigno. Si richiede una mammografia, che dà esito positivo. La sensibilità della mammografia è alta: 80% di veri positivi e 20% di falsi negativi. È alta anche la specificità: 90% di veri negativi e 10% di falsi positivi.

Qual è la probabilità che la paziente abbia un cancro al seno?

La maggior parte dei medici (95 su 100) la stimava alta, attorno al 75%, mentre è 10 volte più bassa, del 7% circa. I medici sopravvalutavano il peso della mammografia e sottovalutavano quello della probabilità di base che il nodulo fosse maligno. Come le persone alle prese con il problema del taxi blu si concentravano sull’informazione nuova, trascurando la vecchia. Ragionando come nel problema dei taxi blu arriviamo facilmente a capire ­perché la probabilità si aggira intorno al 7%.

Su 1000 donne in analoghe condizioni 10 (l’1%) avranno un tumore maligno del seno e 990 (il 99%) non lo avranno. Delle 10 col tumore 8 (l’80% di veri positivi) avranno una mammografia positiva, ma avranno una mammografia positiva anche 99 delle 990 donne senza tumore (il 10% di falsi positivi). Nel complesso il test sarà positivo in 107 casi, di cui 8 veri positivi e 99 falsi positivi. Perciò la probabilità che la paziente abbia un tumore maligno è di 8 su 107 pari al 7% circa. Anche in questo caso è decisivo il fatto che le donne senza tumore nella popolazione sono molte di più e di conseguenza fanno aumentare di molto i falsi positivi.

 
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